1. El Pilar de la Autonomía
Nos enfocamos principalmente en sistemas autónomos. Un sistema con la propiedad de que $F$ y $G$ en las ecuaciones (1) no dependen de la variable independiente $t$ se dice que es autónomo. Esta independencia nos permite interpretar las trayectorias como caminos permanentes en un plano de fase fijo.
Para cualquier sistema autónomo $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(\mathbf{x})$, existe una solución única que satisface $\mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0$. En el plano de fase, esto garantiza que las trayectorias nunca se cruzan; el camino está determinado únicamente por el estado actual, no por el momento en que llegaste allí.
2. Comparación entre Límites Lineales y Realidades No Lineales
En los sistemas lineales $\mathbf{x}' = \mathbf{Ax}$, el origen suele ser el único punto de equilibrio, gobernado por el determinante $q = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ y la traza. Sin embargo, los sistemas no lineales se definen por sus puntos críticos—lugares donde el lado derecho es cero. Una gran Peligro es que puede haber varios, o muchos, puntos críticos que compiten por influir en las trayectorias.
Ejemplo: El Péndulo No Lineal
A diferencia del sistema masa-resorte lineal, donde el periodo es constante, el periodo $T$ de un péndulo no lineal depende de su amplitud, expresado mediante la integral elíptica:
$$T = 4\sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \phi}}$$
3. Estabilidad y la Visión de Liapunov
Para analizar estos puntos sin resolver las ecuaciones, usamos Funciones de Liapunov. Sea $V$ definida en algún dominio $D$ que contiene al origen. Entonces se dice que $V$ es definida positiva en $D$ si $V(0, 0) = 0$ y $V(x, y) > 0$ para todos los demás puntos en $D$.
Al escalar a 3D, encontramos la matriz de Lorenz:
$$\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} -10 & 10 & 0 \\ 1 & -1 & -\sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} \\ \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & -\frac{8}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}$$